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travers une section de ce solide, est, d’après le lemme I^er de l’art. 4 (page 207), $-4l^{2}\mathrm {K} {\frac {dy}{dx}}.$ On doit donc avoir l’équation

$-4l^{2}\mathrm {K} {\frac {dy}{dx}}=const.-\int 8hl\,y\,dx,$

ou                                                  $\mathrm {K} l{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2hy.$

On obtiendrait le même résultat en considérant l’équilibre de la chaleur dans la seule tranche infiniment petite comprise entre les deux sections dont les distances sont $x$ et $x+dx.$ Mais de quelque manière que l’on forme cette équation, il est nécessaire de remarquer que la quantité de chaleur qui s’écoule entre deux tranches contiguës a une valeur finie, dont l’expression exacte est $-\mathrm {K} 4l^{2}{\frac {dy}{dx}},$ comme on l’a démontré plus haut (pages 207 et 212). On commettrait une erreur en regardant cette quantité comme seulement proportionnelle à $dy,$ et il en résulterait 1^o que l’on n’obtiendrait point une équation homogène, 2^o que l’on n’introduirait point dans le calcul les dimensions du prisme, 3^o que l’on ne pourrait point découvrir les équations dans les questions plus composées.

L’intégrale de l’équation précédente est

$y=\mathrm {M} e^{-x{\sqrt {\frac {2h}{\mathrm {K} l}}}}+\mathrm {N} e^{x{\sqrt {\frac {2h}{\mathrm {K} l}}}},$

$\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant deux constantes arbitraires. Or si l’on suppose la distance a infinie, la valeur de la température y doit être