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juguées de l’équation $x^{p}-1:x-1=\mathrm {X} =0,$ l’équation du second degré

$u^{2}+\mathrm {A} u+\mathrm {B} =0.$

Or, $u-m$ élevé au quarré donne $u^{2}-2m.u+m^{2}.$ Ainsi l’on doit avoir $\mathrm {A} =-2m,$ ou, en ajoutant $p,$ $\mathrm {A} =1.$ Ensuite on aura $\mathrm {B} =m^{2},$ ou, en prenant le résidu de $m^{2}$ par rapport à $p,$ $\mathrm {B} ={\frac {-m}{2}},$ si $m$ est pair ; $\mathrm {B} ={\frac {m+1}{2}},$ si $m$ est impair. En effet, en divisant $m^{2}$ par $p=2m+1,$ on a le quotient ${\frac {m}{2}}$ et le reste ${\frac {-m}{2}},$ tous deux entiers, si $m$ est pair.

Si $m$ est impair, ${\frac {-m}{2}}$ équivaut à l’entier ${\frac {m+1}{2}},$ comme il est très-facile de le voir : ou autrement, si $m$ est impair, $m^{2}$ peut être changé en $m^{2}+2m+1,$ et, divisant par $2m+1,$ il vient le quotient ${\frac {m+1}{2}}$ et le reste ${\frac {m+1}{2}},$ tous deux entiers.

Ainsi, dans le cas de $p=2m+1,$ on a pour l’équation du second degré $u^{2}+\mathrm {A} u+\mathrm {B} =0,$ les équations suivantes :

$u^{2}+u-{\frac {m}{2}}=0,\quad {\text{ou}}\quad u^{2}+u+{\frac {m+1}{2}}=0,$

selon que $m$ est pair ou impair.

On a donc : $u={\frac {-1\pm {\sqrt {p}}}{2}}$ ou $u={\frac {-1\pm {\sqrt {-p}}}{2}},$ selon que $p$ est de la forme $4i+1$ ou de la forme $4i-1\,;$ ce qui s’accorde parfaitement avec le théorème donné par M. Gauss.

44. Si $\lambda =3,$ et, par conséquent, si $p=3m+1,$ on a pour l’équation $\mathrm {U} =u^{3}+\mathrm {A} u^{2}+\mathrm {B} u+\mathrm {C} =0,$ les valeurs suivantes :

$\mathrm {A} =1,\qquad \mathrm {B} ={\frac {m+1}{2}},\qquad \mathrm {C} ={\frac {m+1}{2}}.{\frac {2m+1}{3}}.$