désignée par
en une autre
qui ne fait point partie du groupe, toutes les racines changent à-la-fois, et le groupe tout entier se change dans le groupe semblable :
![{\displaystyle r^{c},\ \ r^{ca},\ \ r^{ca^{2}},\ \ r^{ca^{3}},\ \ \ldots r^{ca^{m-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4ad986ac9e58a217751e079c51198e8aebe300)
et ainsi des autres. Soit donc
la somme des
racines de l’une de ces
groupes ; l’on aura
par une équation du degré
et qui sera de la forme :
![{\displaystyle \mathrm {U} =u^{\lambda }+\mathrm {A} u^{\lambda -1}+\mathrm {B} u^{\lambda -2}+\mathrm {C} u^{\lambda -3}+{\text{etc}}.+\mathrm {T} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10c7d12ed6444dee93876e19ab6009dc7d4cd44)
et il est facile de voir que les fonctions invariables
etc. des racines
seront des fonctions invariables des racines
de la proposée, et même se réduiront à des nombres entiers. Or, sans connaître les coëfficients
etc.
je dis qu’ils équivalent aux résidus des coëfficients du binome développé
c’est-à-dire, du polynome :
![{\displaystyle u^{\lambda }-\lambda \,mu^{\lambda -1}+{\frac {\lambda .\lambda -1}{2}}m^{2}u^{\lambda -2}-{\text{etc}}.\pm m^{\lambda }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d77e7d160c4cbf359457bf4b34ee7bfed04c0c)
et qu’ainsi on a, aux multiples près de
les équations remarquables :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&-\lambda \,m,\\\mathrm {B} =&{\frac {\lambda \,m(\lambda \,m-m)}{2}},\\\mathrm {C} =&{\frac {-\lambda \,m(\lambda \,m-m)(\lambda \,m-2m)}{2.3}},\\{\text{etc}}.,\\\mathrm {T} =&{\frac {\pm \lambda \,m(\lambda \,m-m)(\lambda \,m-2m)(\lambda \,m-3m)\ldots }{2.3.4\ldots }},\quad {\text{ou}}\quad =\pm m^{\lambda }.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96dbc00c250a052a2f47974736443ad65c0dc715)
Et en effet, si l’on rapporte l’équation ![{\displaystyle x^{p}-1=\mathrm {MQ} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0847dfa7df7c34b844d2860806b95e0e40a278)