Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/523

désignée par $r$ en une autre $r^{c}$ qui ne fait point partie du groupe, toutes les racines changent à-la-fois, et le groupe tout entier se change dans le groupe semblable :

$r^{c},\ \ r^{ca},\ \ r^{ca^{2}},\ \ r^{ca^{3}},\ \ \ldots r^{ca^{m-1}}\,;$

et ainsi des autres. Soit donc $u$ la somme des $m$ racines de l’une de ces $\lambda$ groupes ; l’on aura $u$ par une équation du degré $\lambda ,$ et qui sera de la forme :

$\mathrm {U} =u^{\lambda }+\mathrm {A} u^{\lambda -1}+\mathrm {B} u^{\lambda -2}+\mathrm {C} u^{\lambda -3}+{\text{etc}}.+\mathrm {T} =0\,;$

et il est facile de voir que les fonctions invariables $\mathrm {A,\,B,\,C} ,$ etc. des racines $u,$ seront des fonctions invariables des racines $r$ de la proposée, et même se réduiront à des nombres entiers. Or, sans connaître les coëfficients $\mathrm {A,\,B,\,C} ,$ etc. $\mathrm {T} ,$ je dis qu’ils équivalent aux résidus des coëfficients du binome développé $(u-m)^{\lambda }\,;$ c’est-à-dire, du polynome :

$u^{\lambda }-\lambda \,mu^{\lambda -1}+{\frac {\lambda .\lambda -1}{2}}m^{2}u^{\lambda -2}-{\text{etc}}.\pm m^{\lambda }\,;$

et qu’ainsi on a, aux multiples près de $p,$ les équations remarquables :

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&-\lambda \,m,\\\mathrm {B} =&{\frac {\lambda \,m(\lambda \,m-m)}{2}},\\\mathrm {C} =&{\frac {-\lambda \,m(\lambda \,m-m)(\lambda \,m-2m)}{2.3}},\\{\text{etc}}.,\\\mathrm {T} =&{\frac {\pm \lambda \,m(\lambda \,m-m)(\lambda \,m-2m)(\lambda \,m-3m)\ldots }{2.3.4\ldots }},\quad {\text{ou}}\quad =\pm m^{\lambda }.\end{aligned}}$

Et en effet, si l’on rapporte l’équation $x^{p}-1=\mathrm {MQ} ,$