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Mais d’un autre côté, suivant notre théorème général, les racines de cette équation sont représentées par les racines de $x^{p}-1=0,$ c’est-à-dire, par les racines $p.^{\mathrm {mes} }$ de l’unité. Donc la formule générale des racines $p.^{\mathrm {mes} }$ de l’unité, étant rapportée au module particulier $p,$ doit devenir entièrement rationnelle, et même délivrée de toute équivoque de signes radicaux, afin de donner toutes ses valeurs égales entre elles et à l’unité.

Cette expression est, comme on sait, de la forme

$x={\frac {-1}{p-1}}+\varphi ,$

en désignant par $\varphi$ toute la partie qui est affectée de radicaux. Or, la première partie rationnelle ${\frac {-1}{p-1}},$ étant rapportée à $p,$ équivaut à l’unité ; on a donc $x=1+\varphi ;$ et par conséquent, toute la partie radicale $\varphi ,$ rapportée à $p,$ doit disparaître d’elle-même, afin qu’il ne reste plus aucun radical, et que toutes les valeurs de la formule se réduisent à la même valeur $x=1.$ Mais les radicaux de $\varphi ,$ que nous avons désignés précédemment par ${\sqrt[{p-1}]{\theta }},{\sqrt[{p-1}]{\theta '}},$ etc., ne peuvent tous disparaître, à moins que les expressions $\theta ,\,\theta ',$ etc., ne contiennent le nombre $p$ par-tout facteur dans leurs différents termes.

40. On a donc ce théorème nouveau et très-remarquable, que j’ai avancé dans mon dernier Mémoire. Si l’on considère la formule générale des racines imaginaires de l’unité, d’un degré quelconque premier $p,$ supérieur à $2,$ on trouvera nécessairement l’exposant $p$ de ces racines par-tout facteur