tient
Cherchant le commun diviseur de ces deux quotients, je trouve le polynome
![{\displaystyle x^{16}-x^{12}+x^{6}-x^{4}+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c80f76a0bb951a14bd8a8e6fe5a63a222a30c2b)
qui, égalé à zéro, contient effectivement les
racines primitives de
comme nous l’avons deja vu d’une autre manière.
V.
Théorèmes nouveaux qui résultent de l’analyse précédente
39. L’équation de Fermat,
a, comme on sait, pour racines tous les nombres
jusqu’à
et par conséquent elle épuise tous les nombres entiers inférieurs à
Il est donc impossible qu’une équation
ait d’autres racines entières que celles qui lui seraient communes avec l’équation
![{\displaystyle x^{p-1}-1=\mathrm {M} p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad2b284966db3434a0ac837c2992e912df95e47)
Or, il est aisé de prouver, par la nature de ces équations, qu’elles ne peuvent avoir d’autres racines communes que celles de l’équation
![{\displaystyle x^{d}-1=\mathrm {M} p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d3d00f7f5e3a1973f8222422885c0ab9f0c98c)
étant le plus grand commun diviscur de
et
L’équation
![{\displaystyle x^{n}-1=\mathrm {M} p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76f5b054d0017a614b22fa90a323fe236df60a3)
ne peut donc avoir que
racines entières : toutes les autres sont irrationnelles ; et voilà pourquoi on ne considère ordinairement que les équations
où
est un diviseur de ![{\displaystyle p-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/695dddf8d8bd947194d5e41447b0228b298deb30)