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tient $x^{32}+x^{24}+x^{16}+x^{8}+1.$ Cherchant le commun diviseur de ces deux quotients, je trouve le polynome

$x^{16}-x^{12}+x^{6}-x^{4}+1,$

qui, égalé à zéro, contient effectivement les $16$ racines primitives de $x^{40}-1=0,$ comme nous l’avons deja vu d’une autre manière.

V.

Théorèmes nouveaux qui résultent de l’analyse précédente

39. L’équation de Fermat, $x^{p-1}-1=\mathrm {M} p,$ a, comme on sait, pour racines tous les nombres $1,\,2,\,3,\,4\ldots$ jusqu’à $p-1;$ et par conséquent elle épuise tous les nombres entiers inférieurs à $p.$ Il est donc impossible qu’une équation $x^{n}-1=\mathrm {M} p$ ait d’autres racines entières que celles qui lui seraient communes avec l’équation

$x^{p-1}-1=\mathrm {M} p.$

Or, il est aisé de prouver, par la nature de ces équations, qu’elles ne peuvent avoir d’autres racines communes que celles de l’équation

$x^{d}-1=\mathrm {M} p,$

$d$ étant le plus grand commun diviscur de $n$ et $p-1.$ L’équation

$x^{n}-1=\mathrm {M} p$

ne peut donc avoir que $d$ racines entières : toutes les autres sont irrationnelles ; et voilà pourquoi on ne considère ordinairement que les équations $x^{n}-1=\mathrm {M} p,$ où $n$ est un diviseur de $p-1.$