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il y a de nombres inférieurs et premiers à $\mathrm {N} \,;$ ce qui s’accorde avec ce que nous avons dit plus haut.

37. Que, si l’on demandait le diviseur rationnel de $x^{\mathrm {N} }-1=0,$ qui contient uniquement les racines primitives de cette équation, il serait bien aisé de l’obtenir, en dégageant du binome $x^{\mathrm {N} }-1$ les facteurs qui lui sont communs avec chacun des binomes $x^{\frac {\mathrm {N} }{a}}-1,$ $x^{\frac {\mathrm {N} }{b}}-1,$ $x^{\frac {\mathrm {N} }{c}}-1\ldots ,$ où $a,b,c\ldots$ sont les diviseurs simples du nombre $\mathrm {N} .$

Ainsi en faisant, pour abréger, ${\frac {\mathrm {N} }{a}}=\mathrm {A} ,\,{\frac {\mathrm {N} }{b}}=\mathrm {B} ,\,{\frac {\mathrm {N} }{c}}=\mathrm {C} ,$ \text{etc}., on divisera le binome $x^{\mathrm {N} }-1$ par $x^{\mathrm {A} }-1,$ et l’on aura pour quotient le polynome :

$x^{\mathrm {N-A} }+x^{\mathrm {N-2A} }+x^{\mathrm {N-3A} }+{\text{etc}}.+1.$

On divisera ensuite le même binome $x^{\mathrm {N} }-1$ par $x^{\mathrm {B} }-1,$ et l’on aura pour quotient le polynome :

$x^{\mathrm {N-B} }+x^{\mathrm {N-2B} }+x^{\mathrm {N-3B} }+{\text{etc}}.+1.$

Et de même, en divisant $x^{\mathrm {N} }-1$ par $x^{\mathrm {C} }-1,$ on aura :

$x^{\mathrm {N-C} }+x^{\mathrm {N-2C} }+x^{\mathrm {N-3C} }+{\text{etc}}.+1.$

et ainsi de suite.

Et maintenant, si l’on cherche le plus grand commun diviseur de ces polynomes, et qu’on l’égale à zéro, on aura l’équation qui renferme uniquement les racines primitives de la proposée $x^{\mathrm {N} }-1=0.$

38. Soit, par exemple, $\mathrm {N} =40,$ dont les facteurs premiers sont $2$ et $5.$ Je divise $x^{39}-1$ par $x^{20}-1,$ et j’ai le quotient $x^{20}+1,$ Je divise ensuite $x^{40}+1,$ par $x-1$ et j’ai le quo-