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racines primitives de $x^{40}-1=0.$ Or, pour ${\sqrt {\sqrt {-1}}},$ on trouve les quatre nombres $3,\,-3,\,14,\,-14;$ et pour les racines de ${\frac {x^{5}-1}{x-1}}=0,$ les quatre nombres $18,\,16,\,10,\,37.$ Multipliant et réduisant, il vient les seize racines primitives trouvées plus haut.

36. Nous n’étendrons pas davantage ces applications particulières, que le lecteur peut varier à son gré. En général, si l’on veut avoir les racines primitives imaginaires de l’équation binome $x^{\mathrm {N} }-1=0,$ on décomposera $\mathrm {N}$ en ses facteurs les plus simples, de manière qu’on ait : $\mathrm {N} =a^{\lambda },\,b^{\mu },\,c^{\nu }\ldots ,$ $a,\,b,\,c\ldots$ étant des facteurs premiers absolument ; on prendra les racines primitives des équations

$x^{a^{\lambda }}-1=0,\qquad x^{b^{\mu }}-1=0,$etc. ;

et si on les désigne par $x'$ pour la première équation, par $x''$ pour la seconde, par $x'''$ pour la troisième, etc., tous les produits $x',x'',''',\ldots$ qu’on pourra faire, seront des racines primitives de la proposée.

Pour avoir les racines primitives de chaque équation particulière, telle que $x^{a^{\lambda }}-1=0,$ on prendra les $a-1$ racines primitives de l’équation $x^{a}-1=0,$ on en tirera la racine $a^{\lambda -1^{\mathrm {mes} }},$ ou, ce qui revient au même, on en prendra $\lambda -1$ fois de suite la racine du degré $a,$ et l’on aura les racines primitives de $x^{a^{\lambda }}-1=0.$ Ces racines seront donc au nombre de $a^{\lambda -1}(a-1),$ puisque le radical du