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$x^{6}-1=0\,:$ or l’équation $x^{2}-1=0$ donne $-1$ pour sa racine primitive ; $x^{3}-1=0$ donne ${\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}$ pour ses deux racines primitives ; on a donc, pour l’expression de la racine primitive de $7,$ le produit de $-1$ par ${\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}},$ ce qui donne ${\frac {1\pm {\sqrt {-3}}}{2}},$ comme ci-dessus.

IV. Soit $p=11.$ Il est clair que la racine primitive de $x^{10}-1=0$ est exprimée généralement par

$x={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {\left(-10+2{\sqrt {5}}\right)}}}{4}}.$

Or, ${\sqrt {5}}={\sqrt {(5+11)}}={\sqrt {16}}=4,$ d’où $2{\sqrt {5}}=8.$

Actuellement,

${\sqrt {\left(-10+2{\sqrt {5}}\right)}}={\sqrt {-2}}={\sqrt {(-2+11)}}={\sqrt {9}}=3\,;$

d’où $x={\frac {1+4+3}{4}}=2.$ Ainsi $2$ est une racine primitive de $11.$

On trouverait les trois autres par l’ambiguïté de ${\sqrt {5}}$ combinée avec celle du radical ${\sqrt {(-10+2{\sqrt {5}})}}.$

Prenons ce dernier radical en moins, et nous aurons :

$x={\frac {1+4-3}{4}}={\frac {1}{2}}={\frac {1+11}{2}}=6.$

Prenons le radical ${\sqrt {5}}$ en moins dans les deux formules, et l’on aura :

$x={\frac {1-4\pm {\sqrt {-18}}}{4}}={\frac {-3\pm {\sqrt {4}}}{4}}={\frac {-3\pm 2}{4}}={\frac {-1}{4}}$ et ${\frac {-5}{4}}\,;$

et ces deux fractions ${\frac {-5}{4}}$ et ${\frac {-1}{4}},$ relativement à $11,$ reviennent aux entiers $7$ et $8.$