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Et de même si, au lieu de $r,$ vous employiez $r^{4},$ vous auriez de nouvelles expressions $\mathrm {L_{2},\,A_{2},\,A'_{2}} \,;$ et la formule

${\frac {\mathrm {L} _{2}+{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} _{2}}}+{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} '_{2}}}}{3}},$

vous donnerait identiquement la racine $r^{4},$ en conservant toujours les mêmes signes aux radicaux.

Mais il est clair que les fonctions $\mathrm {L_{1},\,A_{1},\,A'_{1}} ,$ et les fonctions $\mathrm {L_{2},\,A_{2},\,A'_{2}} ,$ reviendraient respectivement aux premières $\mathrm {L,\,A,\,A'} ,$ en y rabaissant les puissances de $r$ au-dessous de $r^{7},$ par la supposition $r^{7}=1,$ c’est-à-dire, par la suppression de certains multiples de $p.$ Donc, par l’addition de certains multiples de $p$ aux quantités $\mathrm {L,\,A}$ et $\mathrm {A} ',$ vous les ferez devenir respectivement $\mathrm {L_{1},\,A_{1}}$ et $\mathrm {A} '_{1},$ ou $\mathrm {L_{2},\,A_{2},\,A'_{2}} .$

Donc, si vous voulez toujours employer dans la formule des racines de l’unité, un même signe unique pour chaque radical, et parvenir pourtant aux differents nombres que cette formule peut également représenter, il suffira d’ajouter à la quantité qui est sous ce radical les différents multiples de $p$ qui sont également propres à la rendre une puissance exacte. Pour les nombres affectés du radical quarré, il y aura deux différents multiples de $p$ qui les rendront des quarrés exacts ; et il n’y en aura que deux qui puissent donner des quarrés différents relativement à $p.$ Pour les quantités soumises au radical cubique, il y aura trois différents multiples ; et il n’y en aura que trois qui répondent à des cubes différents. Et ce qu’on vient de dire doit s’etendre à toutes les expressions radicales que I’on pourrait considérer.