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Ici le nombre $-3$ est un quarré dont la racine est $\pm 13\,;$ les valeurs des radicaux cubes précédents sont donc : $-4$ et $-20,\,-5$ et $9,\,19$ et $11,$ comme nous l’avons trouvé précédemment ; et les valeurs qui doivent aller ensemble dans la formule se trouvent ici tout accouplées, comme cela résulte nécessairement de notre analyse.

28. Pour le nombre premier $p=29,$ on a les racines

$r,\quad r^{2},\quad r^{4},\quad r^{3},\quad r^{6},\quad r^{5},$

respectivement égales à

$-4,\quad -13,\quad -5;\quad -6,\quad 7,\quad -9;$

on aura donc :

${\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{\left(7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}=&\quad \ \ 5\pm \ \ 4{\sqrt {-3}},\\\alpha {\sqrt[{3}]{\left(7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}=&\quad \ \ 6\pm 14{\sqrt {-3}},\\\alpha ^{2}{\sqrt[{3}]{\left(7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}=&-11\pm 10{\sqrt {-3}}.\end{aligned}}$

On trouverait de même les trois valeurs de

${\sqrt[{3}]{\left(7+{\frac {\sqrt {-7}}{2}}\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}},$

en employant les racines $r^{3},\,r^{6},\,r^{5},$ au lieu des racines $r,\,r^{2},\,r^{4}.$ Mais ici $-3$ n’est point un quarré relativement à $p=29,$ et ces radicaux cubes demeurent irrationnels ; ce qui s’accorde entièrement avec ce que nous avons trouvé d’une autre manière, et nous ramène exactement aux mêmes valeurs déja obtenues pour ces radicaux. Et en effet, $5\pm 4{\sqrt {-3}}$ équivaut à $5\mp 11{\sqrt {2}};$ de même, $6\pm 4{\sqrt {-3}}$ équivaut à $6\pm 5{\sqrt {2}},$ etc., etc., et ainsi des autres.