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et par conséquent le nombre $-7,$ qui est sous le radical quarré, doit toujours être un résidu de quarré relativement à $p.$

Ensuite, la partie $7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}$ doit revenir au cube de l’expression

$r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4},\qquad {\text{ou}}\qquad r+\alpha ^{2}r^{2}+\alpha r^{4},$

c’est-à-dire, au cube de

$r-{\frac {r^{2}+r^{4}}{2}}\pm {\frac {r^{2}-r^{4}}{2}}.{\sqrt {-3}},$

expression rationnelle et réductible à un entier, si $p-1$ est divisible par $3;$ car le radical ${\sqrt {-3}}$ pourra se réduire alors à un entier relativement à $p.$

Dans le cas contraire, elle sera irrationnelle ; car $-3$ ne sera point un résidu de quarré exact par rapport au nombre $p.$

La racine cube de $7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}$ pourra donc toujours être ramenée à la forme $a\pm b{\sqrt {-3}},$ en faisant :

$a={\frac {2r-r^{2}-r^{4}}{2}}\qquad {\text{et}}\qquad b={\frac {r^{2}-r^{4}}{2}}.$

Le nombre $a$ aura toujours trois valeurs différentes, qu’on trouvera en changeant les racines $r,r^{2},r^{4},$ les unes dans les autres ; de sorte qu’on aura :

$a={\frac {2r-r^{2}-r^{4}}{2}}\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {2r^{2}-r^{4}-r}{2}}\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {2r^{4}-r-r^{2}}{2}}\,;$

et le nombre $b$ aura les trois valeurs correspondantes :

$b={\frac {r^{2}-r^{4}}{2}},\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {r^{4}-r}{2}},\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {r-r^{2}}{2}}.$