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Et ces six équations ne sont autre chose que des identités.

Imaginez maintenant qu’on développe les cubes

$\left(r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}\right)^{3},{\text{ etc}}.;$

et que, dans les développements, on fasse par-tout $r^{7}=1,$ au lieu de $1+\mathrm {M} p\,;$ et

$r+r^{2}+r^{4}=\mathrm {X} \qquad {\text{et}}\qquad r^{3}+r^{6}+r^{5}=\mathrm {X} '\,;$

et puis, qu’on fasse $\mathrm {X+X} '=-1,$ au lieu de $-1+\mathrm {M} p,$ et par conséquent $(\mathrm {X-X} ')^{2}=-7,$ au lieu de $-1+\mathrm {M} p\,;$ et la formule générale qui exprimait un quelconque des nombres $r,$ deviendra :

$r={\frac {-1\pm {\sqrt {-7}}}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\left(7\mp {\frac {\sqrt {-7}}{2}}+{\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\left(7\mp {\frac {\sqrt {-7}}{2}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}},$

c’est-à-dire, l’expression exacte de l’une quelconque des racines septièmes imaginaires de l’unité. Ainsi cette formule, y rétablissant sous les divers radicaux les multiples de $p$ qu’on y a supprimés, doit revenir à l’expression des nombres entiers $r$ qui résolvent l’équation indéterminée $x^{7}-1=\mathrm {M} p,r$ comme nous l’avons démontré d’une manière générale au commencement de ce Memoire.

26. Si donc l’équation a toutes ses racines entières, ce qui a lieu lorsque $p-1$ est divisible par $7,$ la première partie ${\frac {-1\pm {\sqrt {-7}}}{6}}$ doit revenir à la somme des trois nombres entiers

$r+r^{2}+r^{4},\qquad {\text{et}}\qquad r^{3}+r^{6}+r^{5}\,;$