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sous la forme d’irrationnelles ; de sorte qu’il y a ici une espèce de cas irréductible tout-à-fait analogue à celui qu’on rencontre dans la résolution des équations algébriques. Ce cas irréductible est inévitable par la nature des choses ; car si, par exemple, dans le cas de $p=29$ (ou de $p$ égal à tout autre nombre premier, tel que $p-1$ ne soit point divisible par $3$), il était possible que la double expression $7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}},$ qui est sous le radical cube, fût réellement réductible à deux cubes entiers $e^{3}$ et $e'\,^{3}\,;$ alors on aurait pour une des racines de $x^{7}-1=\mathrm {M} p,r$ une expression de la forme :

$x=\mathrm {A} +{\frac {1}{3}}e+{\frac {1}{3}}e',$

$\mathrm {A}$ désignant un certain nombre entier. Mais on aurait aussi, pour une autre racine,

$x'=\mathrm {A} +{\frac {1}{3}}\left({\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\right)e+{\frac {1}{3}}\left({\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}\right)e'\,;$

d’où il faudrait conclure que $(e-e'){\sqrt {-3}}$ serait rationnelle, et qu’ainsi le radical ${\sqrt {-3}},$ et partant la formule ${\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}},$ qui marque une des racines cubiques imaginaires de l’unité, serait aussi rationnelle relativement à $p.$ Mais cette racine cubique ne peut répondre à un entier ; car il faudrait alors que $p-1$ fut divisible par $3,$ ce qui est contre l’hypothèse. (Voyez l’art. 39.)

Et réciproquement, on voit que si $p$ est tel, que $p-1,$ toujours divisible par $7,$ soit divisible par $3,$ alors la quantité $7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}$ sera exactement réductible à un cube.