qui seront, avec l’unité, les sept racines de l’équation indéterminée
et c’est ce qu’on peut vérifier à posteriori, en les substituant dans cette équation même.
22. Nous avons dit plus haut que la racine cube de
relativement à
était
c’est-à-dire, qu’on a :
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\left(14\pm 7{\sqrt {2}}\right)}}=5\pm 11{\sqrt {2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75dec5e751c037dc48ff79f30ddddf1d4da7528d)
on trouverait également :
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\left(14\pm 7{\sqrt {2}}\right)}}=+6\pm 5{\sqrt {2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84df68e492b21ed05fe371093b39f8921340d986)
ou bien encore :
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\left(14\pm 7{\sqrt {2}}\right)}}=-11\pm 13{\sqrt {2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f65937cc69c72737ec216f60cf20738a7b8e17aa)
de sorte qu’on peut indifféremment employer ces trois valeurs dans la recherche des racines de la proposée. On peut même dire qu’elles sont toujours effectivement employées toutes les trois : car elles reviennent à l’une quelconque d’entre elles multipliée par les trois racines cubiques de l’unité. Ainsi l’on trouvera que
n’est autre chose que la première
multipliée par
et la troisième,
est encore la première multipliée par ![{\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a37be90cc7a84274519d5270caffa5cada7bfd2f)
Nous avons aussi remplacé l’irrationnelle
![{\displaystyle 14\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}},\quad {\text{ou}}\quad 14\pm 16{\sqrt {21}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d3554fbad03d0eb8b10569253c93a822779d5bc)
par
![{\displaystyle 14\pm 7{\sqrt {2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbe102ec00906789a71e3282ff27dbf9a8ae078)