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$-\ \ 2\quad$ avec $-\ \ 3,\quad$ dont le produit fait $+6,$

$-12\quad$ avec $+21,\quad$ dont le produit fait $+6,$

$+14\quad$ avec $-18,\quad$ dont le produit fait $+6\,;$

et l’on aura :

$x={\frac {5}{6}}+{\frac {1}{3}}(-\ \ 2)+{\frac {1}{3}}(-\;3),\quad$d’où $x=-\ \ 8,$

$x={\frac {5}{6}}+{\frac {1}{3}}(-12)+{\frac {1}{3}}(-\;3),\quad$d’où $x=+11,$

$x={\frac {5}{6}}+{\frac {1}{3}}(+14)+{\frac {1}{3}}(-18),\quad$d’où $x=+21,$

De cette manière, on aura effectivement trois des racines septièmes de l’unité, relativement au nombre premier $43;$ et toute autre combinaison nous donnerait de fausses valeurs pour ces racines.

Actuellement, employons dans la formule la seconde valeur du radical quarré ${\sqrt {-7}},$ c’est-à-dire $-6,$ et nous aurons :

$x={\frac {-7}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{(7+3+12)}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{(7+3-12)}},$

ou bien

$x={\frac {-7}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{22}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{-2}}.$

Or, on trouve, pour les trois valeurs du premier radical cube ${\sqrt[{3}]{22}},$ les nombres $-4,\ -15,\ +19\,;$ et, pour celles du second, ${\sqrt[{3}]{-2}},$ les nombres $-20,\ +9,\ +11\,;$ mais ici l’on doit combiner deux à deux ces valeurs, de manière que leur produit soit égal à $-6\,;$ ainsi il faudra prendre :