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$x^{7}-1=0$ par la méthode ordinaire ; car, en dégageant la racine réelle, ou le facteur $x-1,$ on a :

$x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0.$

équation réciproque du sixième degré, qui se partage en trois du second, ou, si l’on veut, en ces deux du troisième degré,

${\begin{aligned}x^{3}-\mathrm {X} x^{2}+\mathrm {X} 'x-1=&0,\\x^{3}+\mathrm {X} 'x^{2}+\mathrm {X} x-1=&0,\end{aligned}}$

dans lesquelles $\mathrm {X}$ et $\mathrm {X} '$ sont les racines de l’équation

$\mathrm {X} ^{2}+\mathrm {X} +2=0\,;$

ce qui donne :

$\mathrm {X} ={\frac {-1+{\sqrt {-7}}}{2}}\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {X} '={\frac {-1+{\sqrt {-7}}}{3}}.$

Considérons la première,

$x^{3}-\mathrm {X} x^{2}+\mathrm {X} 'x-1=0\,;$

et, pour la résoudre à la manière ordinaire, faisons $x={\frac {u+\mathrm {X} }{3}},$ et nous aurons la transformée :

$u^{3}-3.{\sqrt {-7}}.u-14+{\sqrt {-7}}=0,$

qui donnera, toutes réductions faites,

$u={\sqrt[{3}]{\left(7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}+{\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}+{\sqrt[{3}]{\left(7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}\,;$

d’où l’on tire, pour la formule des racines $7$^mes imaginaires