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toujours conservé ces imaginaires $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ etc., sans y rien changer, c’est-à-dire, sans avoir besoin de les ramener de même à des entiers relativement au nombre premier $p$ que l’on considère. Ce changement ou cette réduction était en effet inutile : car, dans l’addition des fonctions $t,\,t',\,t'',\,t''',$ etc., qui sont les racines exactes $n-1$^mes des fonctions $\theta ,\,\theta ',\,\theta '',\,\theta ''',$ etc., il est évident que les imaginaires $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ etc., se détruisent d’elles-mêmes, et que le résultat ${\frac {t+t'+t''+t'''+{\text{etc}}.}{n-1}}$ donne toujours le nombre entier $r$ qu’on a dessein de découvrir. Cependant si $n-1$ était un diviseur exact de $p-1,$ les racines $n-1$^mes de l’unité répondraient aussi à des entiers relativement à $p,$ et l’on pourrait mettre dans la formule, à la place des imaginaires $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ etc., les entiers $e,e',e'',$ etc., qui résolvent l’équation indéterminée

$x^{n-1}-1=\mathrm {M} p.$

Il est clair qu’aux multiples près du nombre $p,$ on serait toujours conduit à la même valeur $r,$ pour la racine cherchée de la proposée

$x^{n}-1=\mathrm {M} p.$

Et en effet, au lieu des imaginaires $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ etc., qui sont telles, qu’on a :

$\alpha ^{n-1}=1,\qquad \beta ^{n-1}=1,\qquad \gamma ^{n-1}=1,\qquad {\text{etc}}.$

et

$1+\alpha +\beta +\gamma +{\text{etc}}.=0,$

vous emploieriez les nombres $e,\,e',\,e'',$ etc., qui seraient tels, qu’on aurait

$e^{n-1}=1+\mathrm {M} p,\quad e'\,^{n-1}=1+\mathrm {M} p,\quad e''\,^{n-1}=1+\mathrm {M} p,\quad etc.$