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(comme ou le voit en supposant $i$ et $o$ tous deux nuls, ou même seulement, $3i^{2}p-6i-1-o=0,$) sera l’expression analytique de ses racines même impossibles. Cette expression sera donc aussi parfaite que celle des imaginaires dans l’analyse ; je veux dire qu’on pourra, sans crainte, l’employer dans le calcul, et que si, par une combinaison quelconque de semblables valeurs, les irrationnelles viennent à se detruire, le résultat final sera aussi exact, et la démonstration aussi bien etablie, que si l’on n’eut point passé par ces valeurs irrationnelles.

11. Ainsi donc les racines de l’équation binome indéterminée $x^{n}-1=\mathrm {M} p,$ seront toujours parfaitement bien représentées par celles de l’équation binome déterminée $x^{n}-1=0,$ c’est-à-dire par les racines $n$^mes de l’unité, quel que soit l’exposant $n$ et le nombre premier $p$ que l’on voudra considérer.

12. Mais il faut encore pénétrer plus avant dans la composition et les propriétés de la formule générale :

$r={\frac {{\sqrt[{n-1}]{\theta }}+{\sqrt[{n-1}]{\theta '}}+{\sqrt[{n-1}]{\theta ''}}+{\sqrt[{n-1}]{\theta '''}}+{\text{etc}}.}{n-1}}.$

Les fonctions $\theta ,\,\theta ',\,\theta '',\,\theta ''',$ etc., sont, comine on l’a supposé, les puissances exactes $n-1$^mes des fonctions linéaires $t,\,t',\,t'',\,t''',$ etc., lesquelles sont de la forme :

${\begin{aligned}t\;=&r+\;\ r^{a}+\quad \,r^{a^{2}}+\quad r^{a^{3}}+{\text{etc}}.,\\t'=&r+\alpha r^{a}+\alpha ^{2}r^{a^{2}}+\alpha ^{3}r^{a^{3}}+{\text{etc}}.,\end{aligned}}$