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10. Lorsque $n$ ne divise pas $p-1,$ l’équation indéterminée

$x^{n}-1=\mathrm {M} p$

n’a qu’une seule racine ou solution entière, qui est l’unité ; et toutes les autres sont impossibles ou irrationnelles. Mais la formule des racines $n$^mes de l’unité n’en est pas moins encore l’expression analytique de ces racines même impossibles. Car, quelles que soient ces racines, leur nature serait de satisfaire à l’équation $x^{n}-1=\mathrm {M} p\,:$ or, il résulte de cette hypothèse même, qu’elles jouissent également de la propriété de pouvoir être représentées par les puissances suecessives d’une seule $r,$ et de donner, aux multiples près du nombre $p,$ leurs puissances $n$^mes égales à l’unité, et leur somme totale égale à $-1.$ Si donc vous imaginez qu’on les cherche comme dans le premier cas, en les représentant par les puissances successives d’une seule,

$r,\,r^{2},\,r^{3},\,r^{4},$ etc.,

vous pourrez les mettre exactement sous la même forme, et, y supprimant par-tout les multiples de $p,$ les réduire à l’expression des racines $n$^mes de l’unité. Ainsi la formule sera toujours l’expression analytique des racines entières ou irrationnelles de l’équation $x^{n}-1=\mathrm {M} p,$ quel que soit le nombre premier $p$ auquel on vondrait actuellement rapporter cette équation.

Et, par exemple, ${\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}},$ qui exprime une des racines cubiques imaginaires de l’unité, est toujours l’expression de l’un des deux nombres entiers ou irrationnels, autres