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On formera immédiatement chacun de ces groupes au moyen de la suite ordonnée,

$r,\ \ r^{a},\ \ r^{a^{2}},\ \ r^{a^{3}},\ \ r^{a^{4}},\ \ {\text{etc}}.,\ \ r^{a^{n-1}},$

en y prenant les racines de $h$ en $h,$ si $h$ est un diviseur de $n-1.$ On aura ainsi $h$ groupes composés de ${\frac {n-1}{h}}$ racines ; et ces divers groupes seront aussi tout naturellement ordonnés entre eux, de manière que chacun d’eux produira le suivant, en y changeant la racine $r$ en $r^{a}.$

On décomposera de même chaque groupe, en y prenant les racines de $k$ en $k,$ si $k$ est un diviseur de leur nombre ${\frac {n-1}{h}}\,;$ et ainsi de suite. Et si l’on applique enfin à la représentation des racines de ces groupes partiels, et des sommes de racines contenues dans ces groupes eux-mêmes, une analyse toute semblable à celle qu’on a suivie plus haut pour l’ensemble de toutes les racines, on parviendra facilement à une formule qui ne présentera point de radicaux d’exposants supérieurs aux facteurs $2,\,h,\,k,$ etc., du nombre composé $n-1;$ et qui, par les mêmes hypothèses de

$r^{n}=1,\quad {\text{et}}\quad r+r^{2}+r^{3}+{\text{etc}}.=-1,$

se réduira de même à l’expression générale des racines $n$^mes de l’unité. Et de plus, au lieu des racines $1,\,\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ etc., de l’équation $x^{n-1}-1=0,$ on n’aura eu besoin d’employer que les racines des équations inférieures

$x^{2}-1=0,\quad x^{h}-1=0,\quad x^{k}-1=0,$ etc.,

$2,\,h,\,k,$ etc., etant les diviseurs simples de $n-1.$