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Mais il est évident que cette supposition de $r^{n}=1,$ au lieu de

$r^{n}=1+\mathrm {M} p,$

et de                            $r+r^{2}+r^{3}+{\text{etc}}.=-1,$

au lieu de                 $r+r^{2}+r^{3}+{\text{etc}}.=-1+\mathrm {M} p,$

revient à supprimer dans les expressions $\theta ',\,\theta '',\,\theta ''',$ etc., qui sont sous les radicaux, certains multiples du nombre premier $p$ que l’on considère. Donc, puisque, par cette suppression de multiples de $p,$ on passe de l’expression du nombre entier $r,$ à l’expression de la racine imaginaire $n$^me de l’unité, il s’ensuit que, par la restitution dans celle-ci de ces mêmes multiples de $p,$ on reviendrait à l’expression exacte du nombre entier $r.$ Ce qu’il fallait démontrer.

7. On peut remarquer que le premier radical ${\sqrt[{n-1}]{\theta }},$ qui est égal à $t$ ou $r+r^{a}+r^{a^{2}}+$ etc., se réduit tout de suite, de lui-même, à $-1+\mathrm {M} p,$ ou simplement à $-1,$ et ne présente aucune ambiguïté ; de sorte qu’il est inutile de faire cette puissance $n-1$ de $t,$ qui est d’elle-même une fonction invariable des racines, et qu’ainsi l’équation peut se mettre sous la forme plus simple :

$r={\frac {-1+{\sqrt[{n-1}]{\theta '}}+{\sqrt[{n-1}]{\theta ''}}+{\sqrt[{n-1}]{\theta '''}}+{\text{etc}}.}{n-1}}.$

De plus, parmi les racines $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ etc., de $x^{n-1}-1=0,$ il y en a toujours une $\alpha$ qui est égale à $-1\,;$ de sorte que la fonction $t',$ où cette racine $\alpha$ est employée, n’a besoin que