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$r^{a^{3}},$ etc., $r^{a^{n-1}}$ comme M. Gauss en a eu l’heureuse idée pour les racines imaginaires de l’équation binome $x^{n}-1=0\,;$ mais nous voyons ici que cet ordre remarquable, qui semblait dù au hasard, aurait pu être tire directement de l’analyse du problème.

5. Cela posé, considérez, suivant la méthode de M. Lagrange, les $n-1$ fonctions linéaires,

${\begin{alignedat}{4}r&+\ \ \;r^{a}&&+\quad r^{a^{2}}&&+\quad r^{a^{3}}&&+{\text{etc}}.=t,\\r&+\alpha \,r^{a}&&+\alpha ^{2}r^{a^{2}}&&+\alpha ^{3}r^{a^{3}}&&+{\text{etc}}.=t',\\r&+\beta \,r^{a}&&+\beta ^{2}r^{a^{2}}&&+\beta ^{3}r^{a^{3}}&&+{\text{etc}}.=t'',\\r&+\gamma \,r^{a}&&+\gamma ^{2}r^{a^{2}}&&+\gamma ^{3}r^{a^{3}}&&+{\text{etc}}.=t''',\\\end{alignedat}}$

etc. etc.

où $1,\,\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ etc. sont les racines de l’équation binome $x^{n-1}-1=0\,;$ il est clair que vous aurez, en ajoutant ces fonctions,

$(n-1)r=t+t'+t''+t'''+$etc.,

et que, par conséquent, le nombre entier $r$ pourra être mis sous la forme :

$r={\frac {t+t'+t''+t'''+{\text{etc}}.}{n-1}}\,;$

ou bien encore, si vous faites les puissances $n-1$^me des fonctions $t,\,t',\,t'',\,t''',$ etc., ce qui donnera

$(t)^{n-1}=\theta ,\quad (t')^{n-1}=\theta ',\quad (t'')^{n-1}=\theta '',\quad (t''')^{n-1}=\theta ''',\quad {\text{etc}}.;$

et puis, d’un autre côté, que vous remettiez sur ces puis-