Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/462

équivoque même qui en est inséparable, et dont l’emploi dans nos demonstrations mathématiques marque la difference la plus précise entre l’Analyse et la Synthèse.

II.

THÉORÈME.

1. Considérons donc l’équation binome indeterminée, $x^{n}-1=\mathrm {M} p,$ où $\mathrm {M} p$ désigne un multiple quelconque du nombre premier $p,$ et $n$ un exposant quelconque premier, que je supposerai d’abord diviseur de $p-1,$ afin que l’équation $x^{n}-1=\mathrm {M} p$ ait $n$ racines ou solutions en nombres entiers inférieurs à $p.$ Je dis que si l’on prend, à la place de cette équation indéterminée, l’équation binome determinée $x^{n}-1=0,$ et qu’on la résolve, l’expression algébrique de ses $n$ racines, qui, excepté l’unité, sont toutes imaginaires, sera la représentation analytique des $n$ nombres entiers qui résolvent l’équation $x^{n}-1=\mathrm {M} p\,:$ c’est-à-dire, qu’en ajoutant aux nombres qui sont sous les divers radicaux de cette formule imaginaire, des multiples convenables de $p,$ on fera disparaître les imaginaires et les irrationnelles, on rendra toutes les opérations indiquées parfaitement exécutables, et que la formule donnera précisément les $n$ nombres entiers qui satisfont à la proposée, et ne donnera jamais d’autres nombres.

2. Pour démontrer ce théorème, observons d’abord que l’équation $x^{n}-1=\mathrm {M} p,$ a toujours la racine $x=1,$ comme