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$\Pi$ est ici la pression à la surface d’une couche de niveau du sphéroïde terrestre dont le rayon est $a\,;$ $\rho$ est la densité de cette couche, et $\pi$ est le rapport de la circonférence au diamètre. L’intégrale doit être prise depuis $a=0.$ Maintenant, si l’on suppose $d\Pi =2k\rho \,d\rho ,$ $k$ étant une constante, on aura

$\Pi =k\rho ^{2}-k(\rho )^{2}\,;$

$(\rho )$ étant la densité à la surface où $\Pi$ est nul ; l’équation précédente donnera donc

${\frac {d\rho }{da}}=-{\frac {n^{2}}{a^{2}}}.\int \rho \,a^{2}da,$

en faisant $n^{2}={\frac {2\pi }{k}}.$ Supposons $\rho '=a\rho ,$ on aura

$a^{2}d\rho =a\,d\rho '-\rho '\,;$

l’équation précédente devient ainsi

${\frac {a\,d\rho '}{da}}-\rho '=-n^{2}\int a\,\rho '.da.$

En différenciant, on aura

${\frac {d\,d\rho '}{da^{2}}}+n^{2}\rho '=0.$

L’intégrale de cette équation est

$\rho '=\mathrm {A} .sin.an+\mathrm {B} .cos.an\,;$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant deux constantes arbitraires. On aura donc

$\rho ={\frac {\mathrm {A} }{a}}.sin.an+{\frac {\mathrm {B} }{a}}.cos.an.$

La densité n’étant point infinie au centre où $a$ est nul, on a $a\mathrm {B} =0\,;$ par conséquent,

$\rho ={\frac {\mathrm {A} }{a}}.sin.an.$