aurons les deux sommes
qui entrent dans la valeur de
exprimées au moyen de ces fonctions
et
et en substituant leurs expressions dans celle de
elle deviendra définitivement
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi =&\iint f\left(x+at\,cos.u,\,y+at\,sin.usin.v,\,z+at\,sin.ucos.v\right)t\,sin.u\,du\,dv\\+&{\frac {d.}{dt}}\iint \operatorname {F} \left(x+at\,cos.u,\,y+at\,sin.usin.v,\,z+at\,sin.ucos.v\right)t\,sin.u\,du\,dv\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fbe7a1aaae598e8785409c0b7c87c437c60029a)
résultat identique avec celui que nous avons trouvé précédemment, en suivant une marche différente.
Si, au lieu de quatre variables indépendantes
l’équation (c) en contenait un plus grand nombre, et qu’elle fut toujours de la même forme :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=a^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\text{etc}}.\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f6f02095f81a4a1f4210500ea42bcc8d9a631b)
on pourrait encore l’intégrer par la méthode précédente ; mais la valeur de
serait exprimée par des intégrales quadruples, dans le cas de cinq ou de six variables, sextuples, dans le cas de sept ou de huit, et ainsi de suite.