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en fonction de $g,\,h,$ etc.; en sorte que, y compris le coëfficient $\mathrm {A} ,$ cette valeur de $p$ renfermera un nombre de constantes arbitraires égal à celui des variables indépendantes. L’équation qui déterminera $p$ sera d’un degré égal à l’indice de la plus haute différence partielle, relative à $t,$ qui soit contenue dans l’équation proposée ; en désignant ses racines par $p,\,p',p'',$ etc., on pourra les employer successivement dans la valeur de $\varphi \,;$ on pourra aussi changer arbitrairement les quantités $\mathrm {A} ,g,h,$ etc., et prendre pour $\varphi$ la somme des valeurs particulières qui résulteront de ces changements ; ce qui donnera

$\varphi =\sum \mathrm {A} e^{tp+gx+hy+{\text{etc}}.}+\sum \mathrm {A} e^{tp'+gx+hy+{\text{etc}}.}+{\text{etc}}.\,;\qquad$(a)

les caractéristiques $\sum$ indiquant des sommes qui s’étendent à toutes les valeurs, réelles ou imaginaires, de $\mathrm {A} ,g,h,$ etc. Non-seulement cette expression satisfera à l’équation proposée ; mais elle en sera l’intégrale complète, développée en série d’exponentielles.; et ce qu’il y a de particulier à cette forme d’intégrale en série, c’est qu’elle ne renferme explicitement aucune fonction arbitraire, et que chacun des termes de la série satisfait isolément à l’équation aux différences partielles.

Il est permis de supposer que les quantités $g,\,h,$ etc., changent par degrés infiniment petits, d’un terme à l’autre de chaque série ; si l’on prend en même temps, pour le coëfficient $\mathrm {A} ,$ une fonction arbitraire de ces quantités, l’expression de $\varphi$ deviendra

$\left.{\begin{aligned}\varphi =&\int e^{tp+gx+hy+{\text{etc}}.}f(g,\,h,\,{\text{etc}}.)dg\,dh\,{\text{etc}}.\\+&\int e^{tp'+gx+hy+{\text{etc}}.}f'(g,\,h,\,{\text{etc}}.)dg\,dh\,{\text{etc}}.+{\text{etc}}.\end{aligned}}\right\}$(b)