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recourir à une construction géométrique, comme nous l’avons déja fait dans un cas semblable (n^o 1).

Concevons donc une sphère décrite d’un rayon pris pour unité ; par le centre de cette sphère, menons arbitrairement trois axes rectangulaires ; nous pourrons supposer que $x,\,y,\,z,$ sont les cosinus des angles qu’un rayon de cette sphère fait avec les trois axes : $u$ et $v$ seront les coordonnées polaires qui déterminent la direction de ce rayon ; $sin.u\,du\,dv$ sera l’élément de la surface sphérique qui répond à son extrémité ; et enfin l’intégrale double $\iint f(x,y,z)sin.u\,du\,dv$ s’étendra à tous les points de cette surface. Or, nous pouvons changer les coordonnées $u$ et $v,$ en deux autres coordonnées $u'$ et $v',$ et prendre celles-ci de manière que les trois cosinus $x,\,y,\,z,$ soient

$z=cos.u',\qquad y=sin.u'sin.v',\qquad x=sin.u'cos.v'\,;$

l’élément de la surface sera alors $sin.u'du'dv'\,;$ et, pour, étendre l’intégrale à la surface entière, il faudra la prendre depuis $u'=0$ et $v'=0,$ jusqu’à $u'=\pi$ et $v'=2\pi .$ Le résultat de ces intégrations relatives à $u'$ et $v',$ sera alors le même que celui qu’on obtient en intégrant par rapport à $u$ et $v\,;$ en sorte que l’on aura

${\begin{aligned}\iint f&(cos.u,\,sin.usin.v,\,cos.ucos.v)sin.u\,du\,dv\\&=\iint f(sin.u'cos.v',\,sin.u'sin.v',\,cos.u')sin.u'du'dv'\,;\end{aligned}}$

ce qui revient à dire que l’on peut permuter entre elles les deux quantités $x$ et $z$ sous la fonction $f,$ sans changer la valeur de l’intégrale $\iint f(x,y,z)\sin .u\,du\,dv,$ pourvu qu’elle