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$+2{\sqrt {a}}\iint e^{t{\sqrt {b}}cos.u'}{\frac {d\operatorname {F} }{dx}}cos.u\,d\omega +bt\iint e^{t{\sqrt {b}}cos.u'}\operatorname {F} d\omega .$

Nous aurons de même, en intégrant de nouveau par parties,

$2\int e^{t{\sqrt {b}}sin.u\,sin.v}{\frac {d\operatorname {F} }{dx}}cos.u\,sin.u\,du=e^{t{\sqrt {b}}sin.u\,sin.v}{\frac {d\operatorname {F} }{dx}}sin.^{2}u$

${\begin{aligned}&-t{\sqrt {b}}\int e^{t{\sqrt {b}}sin.u\,sin.v}{\frac {d\operatorname {F} }{dx}}sin.^{2}u\,cos.u\,sin.v\,du\\&+t{\sqrt {a}}\int e^{t{\sqrt {b}}sin.u\,sin.v}{\frac {d^{2}\operatorname {F} }{dx^{2}}}sin.^{3}u\,du\,;\end{aligned}}$

supprimant donc le premier terme de cette expression, qui s’évanouit aux deux limites $u=0$ et $u=\pi \,;$ observant que $sin.u.sin.v=cos.u',$ et prenant $d\omega =sin.u\,du\,dv,$ nous en conclurons

${\begin{aligned}2{\sqrt {a}}\iint e^{t{\sqrt {b}}cos.u'}{\frac {d\operatorname {F} }{dx}}cos.u\,d\omega &=-t{\sqrt {ab}}\iint e^{t{\sqrt {b}}cos.u'}{\frac {d\operatorname {F} }{dx}}cos.u\,cos.u'\,d\omega \\&\ +at\iint e^{t{\sqrt {b}}cos.u'}{\frac {d^{2}\operatorname {F} }{dx^{2}}}sin.^{2}u\,d\omega \,;\end{aligned}}$

ce qui réduit la valeur précédente de ${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}},$ à celle-ci :

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=at\iint e^{t{\sqrt {b}}cos.u'}{\frac {d^{2}\operatorname {F} }{dx^{2}}}d\omega +bt\iint e^{t{\sqrt {b}}cos.u'}\operatorname {F} d\omega .$

Or, cette valeur est en même temps celle de la quantité ${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+b\varphi \,;$ il s’ensuit donc que l’équation (13) est satisfaite, du moins par la partie de la valeur de $\varphi ,$ qui dépend de la fonction $\operatorname {F} .$

Il est inutile de soumettre à un calcul semblable la partie dépendante de la fonction $f,$ par la raison que si l’on satis-