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et alors son intégrale complète aura la forme :

${\begin{aligned}\varphi &=\iint e^{x{\sqrt {b}}sin.u\,sin.v}\operatorname {F'} \left(t+x{\sqrt {a'}}cos.u\right)x\,sin.u\,du\,dv\\&\ +{\frac {d.}{dx}}\iint e^{x{\sqrt {b}}sin.u\,sin.v}f'\left(t+x{\sqrt {a'}}cos.u\right)x\,sin.u\,du\,dv\,;\end{aligned}}$

les limites des intégrales étant toujours les mêmes que précédemment, et $f'$ et $\operatorname {F} '$ désignant les deux fonctions arbitraires. Ces fonctions se détermineront, dans ce cas, au moyen des valeurs de $\varphi$ et ${\frac {d\varphi }{dt}},$ qui répondent à $x=0\,;$ car, pour cette valeur de $x,$ on aura

$\varphi =4\pi f't,\qquad {\frac {d\varphi }{dx}}=4\pi \operatorname {F} 't.$

(21) Si l’on veut vérifier si la valeur de satisfait à l’équation (13), on suivra la même marche que dans le n^o 5 : on considérera seulement la partie de cette valeur qui dépend de la fonction $\operatorname {F} ,$ et on l’écrira sous cette forme :

$\varphi =\iint e^{t{\sqrt {b}}cos.u'}\operatorname {F} \left(x+t{\sqrt {a}}cos.u\right)t\,d\omega .$

Pour effectuer les intégrations, on prendra à volonté l’un ou l’autre de ces deux systèmes de valeurs :

${\begin{alignedat}{2}cos.u'=&sin.u\,sin.v,&d\omega =&sin.u\,du\,dv\,;\\cos.u\ =&sin.u'\,sin.v',\qquad &d\omega =&sin.u'du'dv'\,;\end{alignedat}}$

et l’on intégrera, dans le premier cas, depuis $u=0,$ $v=0,$ jusqu’à $u=\pi ,$ $v=2\pi \,;$ et, dans le second, depuis $u'=0,$ $v'=0,$ jusqu’à $u'=\pi ,$ $v'=2\pi \,:$ les résultats de ces deux modes d’intégrations seront les mêmes, quelle que soit la fonction $\operatorname {F} .$

En différentiant deux fois de suite par rapport à $t,$