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les intégrales étant prises depuis $u=0$ et $v=0,$ jusqu’à $u=\pi$ et $v=2\pi .$ Cette dernière expression est la même chose que

$\mathrm {T} ={\frac {t}{4\pi }}\iint e^{ty}\operatorname {F} xsin.u\,du\,dv\,;$

mais, d’après les analogies citées, on a

$e^{kt{\sqrt {a}}cos.u}\operatorname {F} x=F\left(x+t{\sqrt {\alpha }}cos.u\right)\,;$

donc, à cause de

$e^{ty}=e^{t{\sqrt {b}}sin.u\,sin.v}e^{kt{\sqrt {a}}cos.u},$

la valeur de $\mathrm {T}$ deviendra

$\mathrm {T} ={\frac {t}{4\pi }}\iint e^{t{\sqrt {b}}sin.usin.v}\operatorname {F} \left(x+t{\sqrt {a}}cos.u\right)sin.u\,du\,dv.$

Il résulte de là, qu’en comprenant le diviseur $4\pi$ dans les fonctions arbitraires $f$ et $\operatorname {F} ,$ l’intégrale complète de l’équation (13) sous forme finie, sera

${\begin{aligned}\varphi &=\iint e^{t{\sqrt {b}}sin.u\,sin.v}\operatorname {F} \left(x+t{\sqrt {a}}cos.u\right)t\,sin.u\,du\,dv\\&\ +{\frac {d.}{dt}}\iint e^{t{\sqrt {b}}sin.u\,sin.v}f\left(x+t{\sqrt {a}}cos.u\right)t\,sin.u\,du\,dv.\end{aligned}}$

Les deux fonctions $f$ et $\operatorname {F}$ se détermineront immédiatement, d’après les valeurs initiales de $\varphi$ et ${\frac {d\varphi }{dt}}\,;$ car, en faisant $t=0,$ on a

$\varphi =4\pi \,fx,\qquad {\frac {d\varphi }{dt}}=4\pi \operatorname {F} x.$

Si l’on fait ${\frac {1}{a}}=a',$ $-{\frac {b}{a}}=b',$ on pourra écrire l’équation (13) de cette autre manière :

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}=a'{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+b'\varphi \,;$