donc, à cause de
on aura
![{\displaystyle \int cos.g(x-p)cos.g^{2}bt.dg={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2bt}}}\left(cos.{\frac {(x-p)^{2}}{4bt}}+sin.{\frac {(x-p)^{2}}{4bt}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/346937082562ddbd7ce52bd16091971e30edc67d)
et l’on trouvera de même
![{\displaystyle \int cos.g(x-p)sin.g^{2}bt.dg={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2bt}}}\left(cos.{\frac {(x-p)^{2}}{4bt}}-sin.{\frac {(x-p)^{2}}{4bt}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22fd2b29003aaf2f441fa4522062a1f1ee73c117)
Les intégrales relatives à
auront des valeurs semblables ; en les substituant avec celles des intégrales relatives à dans la valeur précédente de
il vient
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {T} }{dt}}={\frac {\pi }{4bt}}sin.{\frac {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}{4bt}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c2c05ffbadeb503459487e54eede8425aad0ef)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {\pi }{4b}}\int sin.{\frac {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}{4bt}}.{\frac {dt}{t}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8e4567bfe7753597ff21d9183af1ae9170ba4d)
l’intégrale étant prise de manière qu’elle s’évanouisse quand
parce qu’on doit avoir alors
Nous aurons donc enfin
![{\displaystyle z={\sqrt {\frac {1}{4\pi \,b}}}\iiint \Psi (p,q)sin.{\frac {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}{4bt}}.{\frac {dt}{t}}ap\,dq\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0570efe9060ae3a3dbc02b14160f0889f0eb5de9)
résultat qui coïncide avec celui du no 15.
(18) Si la quantité
est indépendante de l’une des deux variables
ou
de
par exemple, l’équation (10) se réduit à
![{\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+b^{2}{\frac {d^{4}z}{dx^{4}}}=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81b0ce6461b5b437d77f1e0b05c3c52ba870f86)
(12)
son intégrale complète devient alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}z&={\frac {1}{\pi }}\iint \psi \left(x+2\alpha {\sqrt {bt}}\right)sin.\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)d\alpha \,d\beta \\&\ +{\frac {1}{\pi }}\iiint \Psi \left(x+2\alpha {\sqrt {bt}}\right)sin.\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)dt\,d\alpha \,d\beta \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfe03cfbff48672b61dfb6371e02d27cc0017019)