Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 3.djvu/398

$q=-{\frac {1}{0}},$ jusqu’à $g={\frac {1}{0}},$ $h={\frac {1}{0}},$ $p={\frac {1}{0}},$ $q={\frac {1}{0}}\,:$ il en résultera

${\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dy^{2}}}={\frac {1}{\pi ^{2}}}\iiiint \Psi (p,q)cos.g(x-p)cos.h(x-p)dg\,dh\,dp\,dq,$

et, d’après un théorême connu sur la transformation des fonctions^[1], le second membre de cette équation coïncide avec celui de l’équation (11) ; par conséquent, la valeur particulière de $\mathrm {Z}$ que nous avons choisie, satisfait effectivement à cette équation. Cela étant, nous aurons la valeur la plus générale de cette quantité, ou l’intégrale complète de l’équation (11), en ajoutant à cette valeur particulière une quantité de la forme :

$\Pi \left(x+y{\sqrt {-1}}\right)+\Pi '\left(x-y{\sqrt {-1}}\right)\,;$

$\Pi$ et $\Pi '$ désignant des fonctions arbitraires.

Il suit de là, que la connaissance des valeurs de $z$ et ${\frac {dz}{dt}},$ qui répondent à $t=0,$ ne suffit pas à la détermination complète des fonctions $f$ et $\operatorname {F} \,;$ mais il n’en résulte aucune indétermination dans l’expression générale de $z\,;$ car on peut prouver que les fonctions arbitraires $\Pi$ et $\Pi ',$ qui entreront dans les valeurs de $f$ et $\operatorname {F} ,$ se détruisent toujours dans l’intégrale complète de l’équation (10).

En effet, relativement à la fonction $\Pi ,$ par exemple, nous aurons

$f(x,y)=-\operatorname {F} (x,y)={\frac {1}{2\pi \,b{\sqrt {-1}}}}.\Pi \left(x+y{\sqrt {-1}}\right)\,;$

1. Mémoires de l’Académie, année 1816, pag. 87.