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en supposant ${\frac {df'}{dx}}=f'',$ ${\frac {df_{_{'}}}{dx}}=f_{_{''}}.$ Soit encore, pour abréger,

${\begin{alignedat}{2}{\frac {d^{2}f(x,y)}{dx^{2}}}&+{\frac {d^{2}f(x,y)}{dy^{2}}}&&=\varphi (x,y),\\{\frac {d^{2}\operatorname {F} (x,y)}{dx^{2}}}&+{\frac {d^{2}\operatorname {F} (x,y)}{dy^{2}}}&&=\Phi (x,y)\,;\end{alignedat}}$

en ayant égard à-la-fois aux deux fonctions $f$ et $\operatorname {F} ,$ nous aurons

${\begin{aligned}{\frac {dz}{dt}}&=b{\sqrt {-1}}\iint e^{-\alpha ^{2}-\beta ^{2}}\varphi \left(x+2\alpha {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}},\ \ \ y+2\beta {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}}\ \ \ \right)d\alpha \,d\beta \\&-b{\sqrt {-1}}\iint e^{-\alpha ^{2}-\beta ^{2}}\Phi \left(x+2\alpha {\sqrt {-bt{\sqrt {-1}}}},\,y+2\beta {\sqrt {-bt{\sqrt {-1}}}}\right)d\alpha \,d\beta \end{aligned}}$

pour l’expression de ${\frac {dz}{dt}}$ dont il faudra faire usage.

(15) Maintenant supposons qu’on ait

$z=\psi (x,y),\qquad {\frac {dz}{dt}}=\Psi (x,y),$

quand $t=0\,;$ il en résultera

${\begin{aligned}\psi (x,y)=&\left(f(x,y)+\operatorname {F} (x,y)\right)\iint e^{-\alpha ^{2}}e^{-\beta ^{2}}d\alpha \,d\beta ,\\\Psi (x,y)=&b{\sqrt {-1}}\left(\varphi (x,y)-\Phi (x,y)\right)\iint e^{-\alpha ^{2}}e^{-\beta ^{2}}d\alpha \,d\beta .\end{aligned}}$

En observant que $\iint e^{-\alpha ^{2}}e^{-\beta ^{2}}d\alpha \,d\beta =\pi ,$ la première de ces deux équations donne

$f(x,y)+\operatorname {F} (x,y)={\frac {1}{\pi }}\psi (x,y)\,;$

et si l’on fait

$\pi \,b{\sqrt {-1}}\left(f(x,y)-\operatorname {F} (x,y)\right)=\mathrm {Z} ,$

la seconde devient

${\frac {d^{2}Z}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}Z}{dy^{2}}}=\Psi (x,y).\qquad$(11)