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l’équation (7) se réduit à

${\frac {d\varphi }{dt}}=a{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}\,;\qquad$(9)

et l’integrale générale devient

$\varphi =\iiint e^{-\alpha ^{2}}e^{-\beta ^{2}}e^{-\gamma ^{2}}f\left(x+2\alpha {\sqrt {at}}\right)d\alpha \,;$

mais on a $\iint e^{-\beta ^{2}}e^{-\gamma ^{2}}d\beta \,d\gamma =\pi \,;$ et si l’on comprend ce facteur constant, dans la fonction $f,$ on aura simplement

$\varphi =\int e^{-\alpha ^{2}}f\left(x+2\alpha {\sqrt {at}}\right)d\alpha \,;$

ce qui coïncide avec l’intégrale de l’équation (8), en mettant $\alpha ,\,x$ et $\varphi ,$ à la place de $s,\,r$ et $r\varphi .$ M. Laplace a donné, le premier, sous forme finie, cette intégrale de l’équation (9), de laquelle il était facile de conclure, par analogie, l’intégrale de l’équation (7), qu’on a trouvée plus haut (n^o 9).

Équation des surfaces élastiques vibrantes.

(12) Dans mon mémoire sur les surfaces élastiques, j’ai prouvé que les petites vibrations des plaques sonores, homogènes et d’une épaisseur constante, dépendent de cette équation du quatrième ordre :

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+b^{2}\left({\frac {d^{4}z}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}z}{dy^{4}}}\right)=0\,;\qquad$(10)

$b^{2}$ étant une constante positive. En développant la valeur de $z$ suivant les puissances de $t,$ et prenant ensuite la somme de cette série par un procédé semblable à celui du n^o 9, on