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si donc on suppose $f_{\rho '}.\rho 'd\rho '=d.\operatorname {F} _{\rho '},$ on aura

$\int f_{\rho '}.\sin .\theta \,d\theta =-{\frac {1}{2rs{\sqrt {at}}}}\operatorname {F} _{\rho '}+const.$

Les deux limites de cette intégrale relative à $\theta ,$ doivent être $\theta =0$ et $\theta =\pi \,;$ pour ces valeurs de $\theta ,$ on a $\rho '=r+2s{\sqrt {at}},$ $\rho '=r-2s{\sqrt {at}}\,;$ d’où l’on conclut

${\begin{aligned}\iint f_{\rho }.\sin .u\,du\,dv=2\pi \int f_{\rho '}.\sin .\theta \,d\theta &={\frac {\pi }{rs{\sqrt {at}}}}\left(\operatorname {F} \left(r+2s{\sqrt {at}}\right)\right.\\&-\left.\operatorname {F} (r-2s{\sqrt {at}}\right)\,;\end{aligned}}$

ce qui change la valeur de $\varphi$ en celle-ci :

$\varphi ={\frac {\pi }{rs{\sqrt {at}}}}\int e^{-s^{2}}\left(\operatorname {F} \left(r+2s{\sqrt {at}}\right)-\operatorname {F} \left(r-2s{\sqrt {at}}\right)\right)s\,ds.$

En intégrant par parties, depuis $s=0$ jusqu’à $s={\frac {1}{0}},$ et observant que $d.\operatorname {F} _{r}=f_{r}.r\,dr,$ cette valeur, multipliée par $r,$ devient

$r\varphi =\pi \int e^{-s^{2}}\left[\left(r-2s{\sqrt {at}}\right)f\left(r-2s{\sqrt {at}}\right)+\left(r+2s{\sqrt {at}}\right)f\left(r+2s{\sqrt {at}}\right)\right]ds\,;$

et si l’on convient de prendre l’intégrale depuis $s=-{\frac {1}{0}}$ jusqu’à $s=+{\frac {1}{0}}\,;$ que l’on mette, en outre, $f_{r}$ à la place de $\pi \,r\,f_{r},$ on aura enfin

$r\varphi =\int e^{-s^{2}}\left(r+2s{\sqrt {at}}\right)ds,$

pour l’intégrale complète de l’équation (8).

Lorsqu’on suppose la quantité $\varphi$ indépendante de $y$ et de $z,$