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La fonction arbitraire $f$ se détermine immédiatement, au moyen de la valeur initiale de la quantité ; car, en faisant $t=0,$ on a

$\varphi =f(x,y,z)\iiint e^{-\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}}d\alpha \,d\beta \,d\gamma \,;$

et à cause que

$\int e^{-\alpha ^{2}}d\alpha =\int e^{-\beta ^{2}}d\beta =\int e^{-\gamma ^{2}}d\gamma ={\sqrt {\pi }},$

il en résulte

$\varphi =\pi {\sqrt {\pi }}f(x,y,z).$

(10) Nous donnerons à l’intégrale que nous venons de trouver une forme différente et plus appropriée à certaines questions, en faisant

$\alpha =s\cos .u,\qquad \beta =s\sin .u\sin .v,\qquad \gamma =s\sin .u\cos .v.$

D’après les règles connues sur la transformation des intégrales multiples, nous aurons

$d\alpha \,d\beta \,d\gamma =s^{2}\sin .u\,ds\,du\,dv\,;$

la valeur de $\varphi$ deviendra

$\varphi =\iiint e^{-s^{2}}f\left(x+2s{\sqrt {at}}\cos .u,\,y+2s{\sqrt {at}}\sin .u\sin .v,\right.$

$\left.z+2s{\sqrt {at}}\sin .u\cos .v\right)s^{2}\sin .u\,ds\,du\,dv\,;$

et les intégrales relatives aux nouvelles variables $s,\,u$ et $v,$ devront être prises depuis $s=0,$ $v=0,$ $u=0,$ jusqu’à $s={\frac {1}{0}},$ $u=\pi ,$ $v=2\pi .$ En effet, si nous considérons $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ comme les trois coordonnées rectangulaires d’un point quelconque de l’espace, $\,s,\,u,\,v$ seront les trois coordonnées polaires du même point ; et comme l’intégrale triple, relative aux pre-