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pourvu que les puissances de $g,\,h,\,k,$ soient, comme précédemment (n^o  4), des signes d’opérations qui marquent des différentielles relatives à $x,\,y,\,z,$ divisées respectivement par $dx,\,dy,\,dz.$

Cette dernière expression de $\varphi$ est la même chose que

$\varphi =e^{atg^{2}}e^{ath^{2}}e^{atk^{2}}\mathrm {U} \,;$

$e$ étant la base des logarithmes népériens. Or, d’après une formule connue, on a

${\begin{aligned}e^{atg^{2}}=&{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-\alpha ^{2}}e^{2g\alpha {\sqrt {at}}}d\alpha ,\\e^{ath^{2}}=&{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-\beta ^{2}}e^{2h\beta {\sqrt {at}}}d\beta ,\\e^{atk^{2}}=&{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-\gamma ^{2}}e^{2k\gamma {\sqrt {at}}}d\gamma \,;\end{aligned}}$

les intégrales étant prises depuis $\alpha =-{\frac {1}{0}},$ $\beta =-{\frac {1}{0}},$ $\gamma =-{\frac {1}{0}},$ jusqu’à $\alpha =+{\frac {1}{0}},$ $\beta =+{\frac {1}{0}},$ $\gamma =+{\frac {1}{0}}\,:$ on aura donc

$\varphi =\pi {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\iiint e^{-\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}}e^{2(g\alpha +h\beta +k\gamma ){\sqrt {at}}}\mathrm {U} \,d\alpha \,d\beta \,d\gamma \,;$

et comme, en vertu des analogies dont nous faisons usage, on a généralement

$e^{2(g\alpha +h\beta +k\gamma ){\sqrt {at}}}f(x,y,z)=f\left(x+2\alpha {\sqrt {at}},\,y+2\beta {\sqrt {at}},\,z+2\gamma {\sqrt {at}}\right)\,;$

il en résulte qu’en prenant $\mathrm {U} =\pi {\sqrt {\pi }}f(x,y,z),$ nous aurons, pour l’intégrale complète de l’équation (7) sous forme finie,

$\varphi =\iiint e^{-\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}}f\left(x+2\alpha {\sqrt {at}},\,y+2\beta {\sqrt {at}},\,z+2\gamma {\sqrt {at}}\right)d\alpha \,d\beta \,d\gamma .$