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pensons pas que ces intégrations puissent être d’aucune utilité dans le calcul de l’attraction des sphéroïdes, ni dans les questions qui en dépendent.

Équations relatives à la distribution de la chaleur
dans les corps solides.

(9) Les lois des températures dans un corps solide, homogène et de figure quelconque, dépendent de l’équation

${\frac {d\varphi }{dt}}=a\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\right),\qquad$(7)

dans laquelle le coëfficient $a$ est une constante positive. D’après la remarque que j’ai faite, il y a déja long-temps^[1], cette équation, quoiqu’elle soit du second ordre, est du nombre de celles qui ne comportent qu’une seule fonction arbitraire dans leur intégrale complète. En développant la valeur de suivant les puissances de t, on aura, pour cette intégrale,

$\varphi =\mathrm {U} +at\delta \mathrm {U} +{\frac {a^{2}t^{2}}{1.2}}\delta ^{2}\mathrm {U} +{\frac {a^{3}t^{3}}{1.2.3}}\delta ^{3}\mathrm {U} +{\frac {a^{4}t^{4}}{1.2.3.4}}\delta ^{4}\mathrm {U} +{\text{etc}}.\,;$

$\mathrm {U}$ étant une fonction arbitraire de $x,\,y,\,z,$ et la caractéristique & ayant ici la même signification que plus haut (n^o  3). En vertu des analogies entre les puissances et les différences que nous avons déja employées, nous pourrons écrire cette valeur de sous la forme :

${\begin{aligned}\varphi =\left(1+at\left(g^{2}+h^{2}+k^{2}\right)+{\frac {a^{2}t^{2}}{1.2}}\left(g^{2}+h^{2}+k^{2}\right)^{2}\right.&\\+\left.{\frac {a^{3}t^{3}}{1.2.3}}\left(g^{2}+h^{2}+k^{2}\right)^{3}+{\text{etc}}.\right)&\mathrm {U} ,\end{aligned}}$

1. Journal de l’École polytechnique, 13^e cahier, pag. 107.