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Les angles $\theta '$ et $\psi '$ seront aussi réels, ainsi que $u$ et $v\,;$ en désignant donc par $\mu$ un certain angle réel, on pourra toujours supposer

$\cos .u\cos .\theta '+\sin .u\sin .\theta '\cos .(v-\psi ')=\cos .\mu \,;$

on aura alors

$\rho ^{2}=r^{2}+2atr\cos .\mu +a^{2}t^{2},$

d’où il résulte que la valeur de $\rho$ sera toujours comprise entre $r+at$ et $r-at.$

Cela posé, représentons par $f(r,\theta ,\psi ),$ $\operatorname {F} (r,\theta ,\psi ),$ les valeurs des fonctions $f$ et $\operatorname {F}$ qui répondent à $t=0\,;$ les fonctions qui entrent sous les signes d’intégration dans la valeur de $\varphi ,$ deviendront $f(\rho ,\theta ',\psi '),$ $\operatorname {F} (\rho ,\theta ',\psi '),$ pour une valeur quelconque de la variable $t,$ et l’intégrale de l’équation (3) prendra la forme :

$\varphi =\iint f(\rho ,\theta ',\psi ')\sin .u\,du\,dv+{\frac {d.}{dt}}\iint \operatorname {F} (\rho ,\theta ',\psi ')\sin .u\,du\,dv.$

Dans la théorie du son, les fonctions initiales $f(r,\theta ,\psi )$ et $\operatorname {F} (r,\theta ,\psi )$ seront nulles, quels que soient les angles $\psi$ et $\theta ,$ pour toute valeur de $r$ plus grande que le rayon de l’ébranlement primitif ; si donc on désigne ce rayon par $\alpha ,$ on aura aussi

$f(\rho ,\theta ',\psi ')=0,\qquad \operatorname {F} (\rho ,\theta ',\psi ')=0,$

quelles que soient les variables $\theta '$ et $\psi ',$ pour toute valeur de $\rho$ plus grande que $\alpha \,:$ d’où l’on conclut que la quantité $\varphi ,$ d’où dépendent les vitesses des molécules fluides, ne cessera d’être nulle que quand la plus petite valeur de $\rho ,$ ou $r-at,$ sera