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L’expression complète de $\varphi$ sera donc

$\varphi ={\frac {2\pi }{r}}\left({\frac {1}{a}}f_{1},(r+at)-{\frac {1}{a}}f_{1},(r-at)(r+at)\operatorname {F} (r+at)+(r-at)\operatorname {F} (r-at)\right)\,;$

expression qui se réduit à la forme :

$\varphi ={\frac {1}{r}}\left(fonct.(r-at)+Fonct.(r+at)\right),$

et qui coïncide avec l’intégrale connue.

(7) Dans le cas général, l’intégrale de l’équation (3) peut être présentée sous une autre forme, qui sera souvent utile dans les applications, sur-tout lorsqu’il s’agira, comme dans la théorie du son, de déterminer le mouvement d’un fluide dont l’ébranlement primitif a été circonscrit dans une étendue limitée.

Pour cela, soit

$x=r\cos .\theta ,\qquad y=r\sin .\theta \sin .\psi ,\qquad z=r\sin .\theta \cos .\psi \,;$

les angles $\theta$ et $\psi$ seront réels, et nous aurons

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.$

Désignons par $\rho ,\,\theta '$ et $\psi ',$ ce que deviennent $r,\,\theta$ et $\psi ,$ lorsqu’on change $x,\,y,\,z,$ en $x+at\cos .u,$ $y+at\sin .u\sin .v,$ $z+at\sin .u\cos .v\,;$ en sorte qu’on ait

${\begin{aligned}x+&at\cos .u=\rho \cos .\theta ',\\y+&at\sin .u\sin .v=\rho \sin .\theta '\sin .\psi ',\\z+&at\sin .u\cos .v=\rho \sin .\theta '\cos .\psi ',\end{aligned}}$

et en même temps

$\rho ^{2}=r^{2}+2atr\left(\cos .u\cos .\theta '+\sin .u\sin .\theta '\cos .(v-\psi ')\right)+a^{2}t^{2}.$