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différenciant de même une seconde fois, il vient

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}&=2a\iint {\frac {df}{dx}}\cos .u\,d\omega +2a\iint {\frac {df}{dy}}\cos .u'd\omega +2a\iint {\frac {df}{dz}}\cos .u''d\omega \\&+a^{2}\iint {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}t\cos .^{2}u\,d\omega +a^{2}\iint {\frac {d^{2}f}{dy^{2}}}t\cos .^{2}u'd\omega +a^{2}\iint {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}t\cos .^{2}u''d\omega \\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}+2a^{2}\iint {\frac {d^{2}f}{dx\,dy}}t\cos .u\cos .u'\,d\omega &+2a^{2}\iint {\frac {d^{2}f}{dx\,dz}}t\cos .u\cos .u''d\omega \\&+2a^{2}\iint {\frac {d^{2}f}{dy\,dz}}t\cos .u'\cos .u''d\omega .\end{aligned}}$

Or, si l’on prend $d\omega \sin .u\,du\,dv,$ et qu’on intègre par parties relativement à $u,$ on aura

$2\int {\frac {df}{dx}}\cos .u\sin .u\,du={\frac {df}{dx}}\sin .^{2}u+at\int {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}\sin .^{3}u\,du$

$-at\int {\frac {d^{2}f}{dxdy}}\cos .u\sin .^{2}u\sin .vdu-at\int {\frac {d^{2}f}{dxdz}}\cos .u\sin .^{2}u\cos .vdu$

aux deux limites $u=0$ et $u=\pi ,$ le premier terme de cette valeur est nul ; en le supprimant et prenant l’intégrale double, on aura donc

${\begin{aligned}2\int {\frac {df}{dx}}\cos .u\,d\omega =at\iint {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}\sin .^{2}u\,d\omega &-at\iint {\frac {d^{2}f}{dxdy}}\cos .u\cos .u'd\omega \\&-at\iint {\frac {d^{2}f}{dxdz}}\cos .u\cos .u''d\omega .\end{aligned}}$

On trouvera de même

${\begin{aligned}2\int {\frac {df}{dy}}\cos .u'd\omega =at\iint {\frac {d^{2}f}{dy^{2}}}\sin .^{2}u'd\omega &-at\iint {\frac {d^{2}f}{dydx}}\cos .u'\cos .u\,d\omega \\&-at\iint {\frac {d^{2}f}{dydz}}\cos .u'\cos .u''d\omega ,\\\\2\int {\frac {df}{dz}}\cos .u''d\omega =at\iint {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}\sin .^{2}u''d\omega &-at\iint {\frac {d^{2}f}{dzdx}}\cos .u''\cos .u\,d\omega \\&-at\iint {\frac {d^{2}f}{dzdy}}\cos .u''\cos .u'd\omega \,;\end{aligned}}$