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sant $t=0,$ on a simplement

$\varphi =4\pi \operatorname {F} (x,y,z),\qquad {\frac {d\varphi }{dt}}=4\pi f(x,y,z).$

(5) Nous pouvons mettre l’intégrale de l’équation (3) sous une forme plus symétrique, par rapport aux trois variables $x,\,y,\,z,$ en l’écrivant ainsi :

${\begin{aligned}\varphi &=\iint f(x+at\cos .u,\,y+at\cos .u',\,z+at\cos .u'')td\omega \\&+{\frac {d.}{dt}}\iint \operatorname {F} (x+at\cos .u,\,y+at\cos .u',\,z+at\cos .u'')td\omega .\end{aligned}}$

Pour effectuer les intégrations, on prendra indifféremment l’un de ces trois systèmes de valeurs :

${\begin{alignedat}{3}\cos .u'=&\sin .u\sin .v,&\cos .u''=&\sin .u\cos .v,&d\omega =&\sin .u\,du\,dv\,;\\\cos .u=&\sin .u'\sin .v',&\cos .u''=&\sin .u'\cos .v',&d\omega =&\sin .u'du'dv'\,;\\\cos .u=&\sin .u''\sin .v'',&\quad \cos .u'=&\sin .u''\cos .v'',&\quad d\omega =&\sin .u''du''dv''\,;\end{alignedat}}$

et dans le premier cas, on intégrera depuis $u=0$ et $v=0,$ jusqu’à $u=\pi$ et $v=2\pi \,;$ dans le second, depuis $u'=0$ et $v'=0,$ jusqu’à $u'=\pi$ et $v'=2\pi \,;$ enfin dans le troisième, depuis $u''=0$ et $v''=0,$ jusqu’à $u''=\pi$ et $v''=2\pi .$ Sous cette forme, on peut vérifier, sans développer la valeur de $\varphi$ suivant les puissances de $t,$ qu’elle satisfait à l’équation (3).

En effet, supposons d’abord que cette valeur de $\varphi$ ne contienne que la partie dépendante de la fonction $f\,;$ en différenciant par rapport à $t,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}=\iint f&d\omega +a\iint {\frac {df}{dx}}t\cos .ud\omega \\&+a\iint {\frac {df}{dy}}t\cos .u'd\omega +a\iint {\frac {df}{dz}}t\cos .u''d\omega \,;\end{aligned}}$