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doit donc être nulle, comme nous la trouvons. Quant à la seconde équation (2), on peut aussi la vérifier en développant la puissance $2n$ du trinome contenu entre les parenthèses, et effectuant ensuite les intégrations.

En partant des équations (2), on pourra démontrer l’équation (1), mais pour le cas seulement où la fonction $f$ indique une fonction rationnelle et entière^[1], ou, du moins, une fonction qui soit réductible en série convergente, ordonnée suivant les puissances positives et entières de la vartable. La démonstration que nous venons de donner de cette formule, est à-la-fois plus simple et plus générale.

Observons encore que, par des différentiations relatives aux quantités g,\,h,\,k, on déduira de l’équation (1) une infinité d’autres formules de la même nature. Ainsi, en différenciant une première fois par rapport à l’une de ces trois quantités, et mettant une fonction $\operatorname {F}$ à la place du coëfficient différentiel de $f,$ on aura

${\begin{aligned}\operatorname {F} (g\cos .u+h\sin .u\sin .v+&k\sin .u\cos .v)\cos .u\sin .u\,du\,dv\\=&{\frac {2\pi g}{p}}\int \operatorname {F} (p\cos .\theta )\cos .\theta \sin .\theta \,d\theta ,\\\operatorname {F} (g\cos .u+h\sin .u\sin .v+&k\sin .u\cos .v)\sin .^{2}u\sin .v\,du\,dv\\=&{\frac {2\pi h}{p}}\int \operatorname {F} (p\cos .\theta )\cos .\theta \sin .\theta \,d\theta ,\\\operatorname {F} (g\cos .u+h\sin .u\sin .v+&k\sin .u\cos .v)\sin .^{2}u\cos .v\,du\,dv\\=&{\frac {2\pi k}{p}}\int \operatorname {F} (p\cos .\theta )\cos .\theta \sin .\theta \,d\theta \,;\end{aligned}}$

1. Exercices de calcul intégral, 5^e partie, pag. 273.