Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 3.djvu/368

traires qu’elles renferment. Toutes celles que l’on trouvera dans mon mémoire, jouissent de cet avantage ; en sorte que, non-seulement elles satisfont de la manière la plus générale aux équations dont elles sont les intégrales complètes, mais on doit aussi les regarder comme étant les solutions définitives des problèmes qui ont conduit à ces équations.

Équation générale du mouvement des fluides.

(1) Nous démontrerons d’abord un théorême relatif à la réduction des intégrales doubles, remarquable en lui-même, et qui nous sera très-utile dans la suite de ce mémoire.

Les intégrales auxquelles ce théorème se rapporte, sont comprises sous la forme :

$\iint f(g\cos .u+h.\sin .u\sin .v+k\sin .u\cos .v)\sin .u\,du\,dv=\mathrm {P} ,$

et doivent être prises depuis $u=0$ jusqu’à $u=\pi ,$ et depuis $v=0$ jusqu’à $v=2\pi ,$ $\pi$ désignant le rapport de la circonférence au diamètre : $g,\,h$ et $k$ sont des quantités constantes ; la caractéristique $f$ indique une fonction quelconque. Si l’on fait

$g=p\cos .u',\qquad h=p\sin .u'\sin .v',\qquad k=p\sin .u'\cos .v',$

la quantité $\mathrm {P}$ deviendra

$\mathrm {P} =\iint f\left[p(\cos .u'\cos .u+\cos .(v-v')\sin .u'\sin .u)\right]\sin .u\,du\,dv.$

Or, pour savoir ce que cette quantité représente, concevons une sphère décrite d’un rayon pris pour unité ; par le centre, menons arbitrairement un plan fixe, et dans ce plan, un axe fixe ; supposons que $u$ soit l’angle compris entre cet axe et