équations n’est point intégrable sous forme finie, en employant les seules variables qu’elles contiennent. Pour obtenir leurs intégrales sous cette forme, on a imaginé de chercher à les exprimer par des intégrales définies, relatives à des variables auxiliaires qui ne sont pas celles de la question ; et ce nouveau champ, ouvert aux recherches des géomètres, a fourni le moyen, sinon de compléter, du moins d’étendre les procédés d’intégration.
Euler avait déja indiqué l’usage des intégrales définies, pour intégrer, sous forme finie, les équations différentielles ordinaires qui résistent aux méthodes connues, telles telles que, par exemple, l’équation de Riccati dans les cas de non intégrabilité proprement dite. M. Laplace a pensé le premier à étendre ce procédé aux équations linéaires aux différences partielles ; et il a intégré, de cette manière, l’équation du second ordre, à deux variables indépendantes, dans le cas où tous les coëfficients sont constants, et dans un autre cas particulier. Les expressions qu’il a trouvées ne contiennent que des intégrales simples ; mais les quantités qui multiplient les fonctions arbitraires sous le signe intégral, ne sont pas données explicitement : elles dépendent d’équations différentielles ordinaires, qui ne peuvent elles-mêmes s’intégrer que par des intégrales définies ; en sorte que ces expressions contiennent réellement des intégrales définies doubles, ainsi qu’on peut le voir dans l’ouvrage de M. Lacroix, où sont exposées les différentes méthodes d’intégration employées jusqu’ici.
Depuis l’époque où M. Laplace a publié ces résultats[1],
- ↑ Mémoires de l’Académie, année 1779.
