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Les trois termes précédents produisent encore, dans l’expression de la hauteur de la marée, la quantité

$-2.\left({\frac {s\pi }{n}}\right)^{2}.\left\{{\begin{aligned}&a'.(p'-m')^{2}+a'.h'.\left(p'-m'-{\frac {1}{2}}l\right)^{2}\\&-a'.h''.\left(p'-m'+{\frac {1}{2}}l\right)^{2}\end{aligned}}\right\}\,;$

elle se réduit, à-très-peu-près, à

$-2.\left({\frac {s\pi }{n}}\right)^{2}.\left(a'.(p'-m'-hl)^{2}+x.{\frac {l}{m'}}.a'h.\left((p'-m')^{2}+{\frac {1}{4}}l^{2}\right)\right).$

Ce dernier terme peut être négligé sans erreur sensible. D’ailleurs, $hl$ est l’accroissement de la vitesse angulaire de la lune, en vertu de l’argument $h.sin.(lt-\delta ').$ Il suffit donc, pour avoir égard à cet argument, de prendre pour $m',$ la vitesse angulaire de la lune, au moment de la syzigie.

La valeur de $p'$ est

${\frac {am+a'm'+a''m''+{\text{etc}}.}{b+a+a'+a''+{\text{etc}}.}}\,;$

les trois termes $(i)$ introduisent dans le numérateur de cette expression, les suivants,

$a'm'+a'h'.\left(m'+{\frac {1}{2}}l\right)-a''h''.\left(m'-{\frac {1}{2}}l\right)\,:$

en substituant pour $a'h'$ et $a''h'',$ leurs valeurs précédentes, et négligeant $x,$ ces trois termes se réduisent à $a'm'+a'hl\,;$ ce qui revient encore à prendre dans $p',$ au lieu de $m',$ la vitesse angulaire de la lune.

De-là il suit que l’on aura égard à toutes les inégalités du mouvement $\varphi '$ de la lune dans son orbite, en supposant,