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${\begin{aligned}2\mathrm {A} .&cos.^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon .{\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}+\mathrm {B} .sin.^{2}\varepsilon .{\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}.cos.2mt'\\&=2\mathrm {A} .{\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}.p-(\mathrm {A-B} ).{\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}.sin.^{2}\varepsilon .cos.2mt'.\end{aligned}}$

En nommant pareillement $p'$ le quarré du cosinus de la déclinaison de la lune à l’instant de la syzigie, on aura

${\begin{aligned}2\mathrm {A} '.&cos.^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon '.{\frac {\mathrm {L'} }{r^{'3}}}+\mathrm {B} .sin.^{2}\varepsilon '.{\frac {\mathrm {L'} }{r^{'3}}}.cos.(2m't'-2\delta )\\&=2\mathrm {A} '.{\frac {\mathrm {L'} }{r^{'3}}}.p'-(\mathrm {A'-B} ).{\frac {\mathrm {L'} }{r^{'3}}}.sin.^{2}\varepsilon '.cos.(2m't'-2\delta ).\end{aligned}}$

Dans les syzigies des solstices, $mt'$ et $m't'$ sont augmentés de ${\frac {1}{2}}\pi .$ En désignant donc par ${\frac {1}{2}}\pi +mt'',$ et ${\frac {1}{2}}\pi +m't'',$ les angles $mt'$ et $m't',$ ce qui revient à compter du solstice, les arcs $mt'',$ et $m't''\,;$ on aura

${\begin{aligned}&cos.2mt'=-cos.2mt''\\&cos.(2mt'-2\delta )=-cos.2(m't''-\delta ).\end{aligned}}$

En désignant par $q$ et $q'$ les quarrés des cosinus des déclinaisons solaires lunaires à l’instant de la syzigie, on aura

${\begin{aligned}2\mathrm {A} .cos.^{4}{\frac {1}{2}}&\varepsilon .{\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}+\mathrm {B} .sin.^{2}\varepsilon .cos.2mt'\\&=q.2\mathrm {A} .{\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}+(\mathrm {A-B} ).{\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}.sin.^{2}\varepsilon .cos.2mt''.\\2\mathrm {A} '.cos.^{4}{\frac {1}{2}}&\varepsilon '.{\frac {\mathrm {L'} }{r^{'3}}}+\mathrm {B} .{\frac {\mathrm {L'} }{r^{'3}}}.sin.^{2}\varepsilon '.cos.(2m't'-2\delta )\\&=q'.2\mathrm {A} '.{\frac {\mathrm {L'} }{r^{'3}}}+(\mathrm {A'-B} ).{\frac {\mathrm {L'} }{r^{'3}}}.sin.^{2}\varepsilon '.cos.(2mt''-2\delta ).\end{aligned}}$

On peut supposer que, dans l’ensemble des syzigies considérées ci-dessus, la somme des cosinus de $2mt$ est égale à la