Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 3.djvu/258

quarrés des erreurs de chaque observation. Mais on obtiendra sa valeur d’une manière beaucoup plus simple, et suffisamment exacte, par le procédé suivant.

Nommons $a,a^{(1)},a^{(2)},$ etc., les valeurs de $\zeta$ relatives à chacune des huit années, et désignons par $b$ la moyenne de ces valeurs, ou la valeur de $\zeta \,;$ $u'$ étant l’erreur de cette valeur, celle de la valeur $a$ sera $b-a+u'\,:$ en supposant donc que l’erreur $r$ des valeurs de $a,a^{(1)},a^{(2)},$ etc., soit proportionnelle à l’exponentielle $c^{-kr^{2}}\,;$ la probabilité de l’erreur $b-a+u'$ sera proportionnelle à

$c^{-k.(b-a+u')^{2}}.$

Elle sera donc égale à

${\frac {du'.{\sqrt {k}}.c^{-k.(b-a+u')^{2}}}{\int du'.{\sqrt {k}}.c^{-k.(b-a+u')^{2}}}}\,;$

l’intégrale du dénominateur étant prise depuis $u'=-\infty ,$ jusqu’à $u'=\infty \,;$ ce qui donne ${\sqrt {\pi }}$ pour cette intégrale, $\pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité. En effet, la somme de ces probabilités relatives à toutes les valeurs possibles de $u'$ doit être l’unité. La probabilité de l’erreur $b-a+u',$ est donc proportionnelle à

${\sqrt {k}}.c^{-k.(b-a+u')^{2}}.$

Pareillement, $b-a^{(1)}+u',$ est l’erreur de la valeur $a^{(1)},$ et la probabilité de cette erreur est proportionnelle à

${\sqrt {k}}.c^{-k.(b-a^{(1)}+u')^{2}}\,;$