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s’évanouit avec ses dérivées de premier ordre $\operatorname {D} _{u}\mathrm {H} ,\operatorname {D} _{v}\mathrm {H} ,\operatorname {D} _{w}\mathrm {H} ,$ lorsque $u,v,w,$ et par suite $wi$ s’évanouissent ; et l’on satisfait à cette condition en même temps qu'à l’équation (14) lorsqu'on prend

(16)

$\mathrm {H} =\iint \mathrm {F} dh^{2},$

chaque intégration étant effectuée à partir de la limiter $h=0.$ Enfin, en supposant la valeur de $\mathrm {H}$ déterminée par la formule (16), on tirera de l’équation (15)

(17)

$\mathrm {G=F} -\operatorname {D} _{h}\mathrm {H=F-\int F} dh$

l’intégration étant encore effectuée à partir de $h=0.$

Ce n’est pas tout ; $\mathrm {H}$ devant, en vertu de la formule (15), s’évanouir avec ses dérivées de premier ordre, pour des valeurs nulles de $u,v,w,$ les valeurs les plus générales de $\mathrm {G}$ et $H$ qui satisferont en même temps à cette condition et aux formules (i 3), ne pourront différer des valeurs fournies par les équations (16) et (17). Car si l’on nomme ${\mathfrak {G,H}}$ les accroissements qu'on devra faire subir à ces dernières valeurs pour passer aux valeurs générales de $\mathrm {G}$ et $\mathrm {H} ,$ il faudra, pour satisfaire aux formules (13), poser

(18)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}{\mathfrak {G}}+\operatorname {D} _{u}^{2}{\mathfrak {H}}=&0,\qquad &{\mathfrak {G}}+\operatorname {D} _{v}^{2}{\mathfrak {H}}=&0,\qquad &{\mathfrak {G}}+\operatorname {D} _{w}^{2}{\mathfrak {H}}=&0,\\\operatorname {D} _{v}\operatorname {D} _{w}{\mathfrak {H}}=&0,&\operatorname {D} _{w}\operatorname {D} _{u}{\mathfrak {H}}=&0,&\operatorname {D} _{u}\operatorname {D} _{v}{\mathfrak {H}}=&0,\end{alignedat}}\right.$

et de plus ${\mathfrak {H}}$ devra s’évanouir avec ses dérivées de premier ordre $\operatorname {D} _{u}{\mathfrak {H}},\operatorname {D} _{v}{\mathfrak {H}},\operatorname {D} _{w}{\mathfrak {H}}$ pour des valeurs nulles de $u,v,w.$ Or, pour vérifier en même temps cette dernière condition et les formules (18), il est nécessaire de supposer

(19)

${\mathfrak {G}}=0,\qquad {\mathfrak {H}}=0.$