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eux, dans les deux membres de la formule (4), les coefficients des trois coordonnées $a,b,c.$ En opérant ainsi, et en posant pour abréger

(5)

$\upsilon =\operatorname {D} _{x}\xi +\operatorname {D} _{y}\eta +\operatorname {D} _{z}\zeta ,$

on obtiendra immédiatement les trois formules

(6)

$\left\{{\begin{aligned}{\mathfrak {X}}&=\operatorname {E} \xi +\operatorname {FD} _{x}\upsilon +\operatorname {K} (\operatorname {D} _{z}\eta -\operatorname {D} _{y}\zeta ),\\{\mathfrak {Y}}&=\operatorname {E} \eta +\operatorname {FD} _{y}\upsilon +\operatorname {K} (\operatorname {D} _{x}\zeta -\operatorname {D} _{z}\xi ),\\{\mathfrak {Z}}&=\operatorname {E} \zeta +\operatorname {FD} _{z}\upsilon \,+\operatorname {K} (\operatorname {D} _{y}\xi -\operatorname {D} _{x}\eta ).\end{aligned}}\right.$

en vertu desquelles les équations (1) seront réduites aux suivantes

(7)

$\left\{{\begin{aligned}\operatorname {D} _{t}^{2}\xi &=\operatorname {E} \xi +\operatorname {FD} _{x}\upsilon +\operatorname {K} (\operatorname {D} _{z}\eta -\operatorname {D} _{y}\zeta ),\\\operatorname {D} _{t}^{2}\eta &=\operatorname {E} \eta +\operatorname {FD} _{y}\upsilon +\operatorname {K} (\operatorname {D} _{x}\zeta -\operatorname {D} _{z}\xi ),\\\operatorname {D} _{t}^{2}\zeta &=\operatorname {E} \zeta +\operatorname {FD} _{z}\upsilon \,+\operatorname {K} (\operatorname {D} _{y}\xi -\operatorname {D} _{x}\eta ).\end{aligned}}\right.$

Telle est la forme à laquelle se réduiront les équations (1), quand elles seront isotropes, si d’ailleurs les fonctions de

$\xi ,\ \eta ,\ \zeta \qquad {\text{et de}}\qquad \operatorname {D} _{x},\ \operatorname {D} _{y},\ \operatorname {D} _{z},$

représentées par

${\mathfrak {X,\ Y,\ Z}}$

sont non-seulement linéaires par rapport aux déplacements $\xi ,\eta ,\zeta$ et à leurs dérivées des divers ordres, mais aussi homogènes et à coefficients constants.

On ne doit pas oublier que, dans les formules (7), les coefficients symboliques

$\mathrm {E,\ F,\ K}$

représentent des fonctions entières du trinôme

$\operatorname {D} _{x}^{2}+\operatorname {D} _{y}^{2}+\operatorname {D} _{z}^{2}.$

Ajoutons que la variable $\upsilon ,$ déterminée par l’équation (5), est